من المعروف منذ آلاف السنين أن الأعداد الأولية غير منتهية، لكن البراهين الحديثة تعطي معلومات جديدة عن اعتماد النظريات على بعضها البعض.

أول دليل عرفه معظم الناس، في المرحلة الثانوية الأولى، هو دليل عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. يستغرق الأمر بضعة أسطر فقط ولا يستخدم أي مفاهيم معقدة أكثر من الأعداد الصحيحة والضرب.

يستدل بحقيقة أنه لو كانت الأعداد الأولية منتهية، فإن ضربها في بعضها وإضافة الرقم 1 يعني وجود عدد أولي آخر  ويدل هذا التناقض على أن الأعداد الأولية لانهائية. ومن اللافت للنظر أن علماء الرياضيات لديهم متعة لا تنتهي، وهي إثبات ذلك مرارًا وتكرارًا.

أوضح وليام غاسارتش، أستاذ علوم الحاسب في جامعة ماريلاند ومؤلف كتاب البرهان الجديد المنشور إلكترونيًا بداية هذا العام: “لماذا كل هذا العناء؟ من أجل المتعة فقط. والأهم من ذلك، أعتقد أن الفرق بين الرياضيات المسلية والرياضيات البحتة بسيط”.

دليل غاسارتش هو الأحدث في سلسلة طويلة من البراهين الجديدة. ففي عام 2018، جمع روميو ميستروفيك من جامعة مونتينيغرو ما يقرب من 200 دليل لنظرية إقليدس في دراسة تاريخية شاملة.

إن المجال الكلي لنظرية الأعداد التحليلية يستخدم كميات متفاوتة لدراسة الأعداد الصحيحة باستمرار والتي نشأت في عام 1737، عندما استخدم عالم الرياضيات العظيم ليونارد أويلر حقيقة أن السلسلة اللانهائية 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … ممتدة (وهذا يعني أنها لا تجمع مع أعداد محدودة)، لإعادة إثبات أن هناك عددًا لا حصر له من الأعداد الأولية.

قال كريستيان إلشولتز، عالم رياضيات في جامعة غراتس للتكنولوجيا في النمسا ومؤلف كتاب برهان جديد آخر، “بدلاً من إثبات النتائج الصعبة من العديد من النتائج الأصغر — وهو ما يفعله علماء الرياضيات عندما يجمعون البراهين باستمرار في نظريات — استخدمت نظرية فيرما الأخيرة، التي تعد نتيجة غير بديهية بالواقع. ثم ختمتها بنتيجة بسيطة للغاية”.

فهو فعل العكس وأضاف: “إن العمل بالرجوع للنظريات السابقة يمكن أن يكشف عن روابط خفية بين مجالات مختلفة من الرياضيات، وما يثير السخرية أن هناك منافسة نسبية بين الناس للحصول على الدليل الأكثر صعوبة”.

أوضح أندرو جرانفيل، عالم رياضيات في جامعة مونتريال ومؤلف البرهانان الآخران: “يجب أن يكون الأمر مسلي. وليس الهدف القيام بشيء هائل فعليًا. فالطريقة الوحيدة لفعل شيئًا صعبًا هو أن يكون مسليًا”. قال جرانفيل إن هناك نقطة مهمة في هذه المزايدة الودية. لا يكتفي الباحثون بحل الأسئلة فقط”.

عملية الابتكار في الرياضيات ليست مجرد تكليف جهاز بمهمة والجهاز يحلها. فالباحث يأخذ ما توصل إليه العلماء في الماضي ويستخدم ذلك لابتكار طريقة لتطوير الأفكار.

ويقول غاسارتش، أستاذ في جامعة ماريلاند، آخر عالم في سلسلة طويلة من علماء الرياضيات الذين توصلوا إلى دليل جديد على أن الأعداد الأولية لا نهائية: “تختلف كل البحوث عن الدليل الجديد على أن الأعداد الأولية لا متناهية في الرياضيات البحتة. في يوم تبحث عن الأعداد الأولية فقط، وفي اليوم التالي تبحث عن سعة المربعات”.

يبدأ دليل غاسارتش بحقيقة أن تلوين الأعداد الصحيحة بعدد محدود من الألوان، سيجعل هناك دائمًا زوج من الأرقام بنفس اللون الذي يكون مجموعه أيضًا هذا اللون، وأثبته ايساي شور في عام 1916.  

استخدم غاسارتش نظرية شور ليبرهن إذا كان هناك عدد محدود من الأعداد الأولية ، فسيكون هناك مكعب كامل (عدد صحيح ، مثل 125 ، يساوي عددًا صحيحًا آخر مضروبًا في نفسه 3 مرات) وهو مجموع مكعبين كاملين آخرين. ولكن في عام 1770، أثبت أويلر عدم وجود هذا المكعب – فإذا كان يساوي 3 في حالة نظرية فيرما الأخيرة، التي تفترض أنه لا يوجد حلول صحيحة لـ an + bn = cn ل n أكبر من 2. فبناءً على هذا التناقض، استنتج غاسارتش أنه يجب أن يكون هناك عدد لا حصر له من الأعداد الأولية.

استخدم جرانفيل أحد براهينه لعام 2017 في نظرية مختلفة لنظرية فيرمات. اعتمد جرانفيل على نظرية 1927  التي صاغها بارتل ليندرت فان دير ويردن، ومفادها أنه عند تلوين الأعداد الصحيحة بعدد محدود من الألوان، فسيكون هناك دائمًا سلاسل طويلة من الأعداد الصحيحة المتباعدة بشكل متساوِ بنفس اللون. مثل غاسارتش، بدأ جرانفيل بفرضية أن الأعداد الأولية محدودة.

ثم استخدم نظرية فان دير ويردن لإيجاد تسلسل من 4 مربعات كاملة متباعدة بالتساوي وملونة بشكل متماثل. لكن فيرما أثبت أنه لا يمكن أن يوجد هذا التسلسل. فهذا تناقض! لأن هذا التسلسل يمكن أن يوجد إذا كان هناك عدد محدود من الأعداد الأولية، فلا يمكن أن يوجد إذا كان هناك عدد لا حصر له من الأعداد الأولية. كان دليل جرانفيل هو ثاني أحدث دليل أولي يعتمد على نظرية فان دير ويردن.

ولقد قام ليفنت البوج، وهو الآن طالب في مرحلة ما بعد الدكتوراه في جامعة هارفارد، باستخدم هذه النتيجة أيضًا في عام 2015 في البحث، الذي نشر حين كان لا يزال طالب في الكلية.

جرانفيل معجب بنظرية إلشولتز تحديدًا تلك النظرية التي تطبق أيضًا نظرية فيرما الأخيرة وهو الافتراض المنافي للواقع بأن الأعداد الأولية محدودة. ومثل غاسارتش، أدرج إلشولتز نظرية شور، وإن كان بطريقة مختلفة. كما قدم إلشولتز دليلًا ثانيًا باستخدام نظرية 1953 لكلاوس روث، التي تنص على أن مجموعات الأعداد الصحيحة التي تزيد عن مقدار معين يجب أن تحتوي على مجموعات من 3 أرقام متباعدة بشكل متساوٍ.

يمكن الإجابة على بعض أسئلة الرياضيات المعقدة والعملية بناءً على هذا العمل. فعلى سبيل المثال، سيكون من السهل جدًا فك تشفير المفتاح العام الذي يعتمد على صعوبة تحليل الأعداد الكبيرة إذا عشنا في عالم به عدد محدود من الأعداد الأولية. يتساءل إلشولتز عما لو كان هناك ارتباط بسيط بين البراهين الدالة على أنه هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية وإثبات مدى صعوبة فك تشفير مثل هذه الأنظمة. قال إلشولتز: “إن هناك ارتباط ضعيف بنظرية إقليدس، من المهم أن نبحث عن ارتباط أعمق”.

أوضح جرانفيل إن أفضل رياضيات تنتج مجموعة مجالات وموضوعات مختلفة وغير مألوفة وغالبًا ما تظهر بعد أن يمضي علماء الرياضيات سنوات في التفكير في مشكلات أقل أهمية، ولكنها مسلية. فهو شغوف بحقيقة أنه يمكن تطبيق الموضوعات التي تبدو بعيدة على نظرية الأعداد.

في دراسة حديثة، أشاد جرانفيل بالدقة العلمية لبراهين 1955 أثبتها هيليل فورستنبرغ، التي تستخدم طوبولوجيا تحديد النقط. ومثل البوج، كان فورستنبرغ لا يزال طالب في الكلية عندما نُشر إثباته. وقال إنه سيعمل في وظيفة مرموقة في مختلف مجالات الرياضيات.

سأل جرانفيل عما إذا كانت البراهين الجديدة على نتيجة إقليدس القديمة: “هل هي مجرد فضول أو شيء قد يكون مهم على المدى الطويل؟”. وردًا على سؤاله، قال: “لا أعرف الإجابة”.

المصدر: https://www.quantamagazine.org

ترجمة: زهراء الشافعي

تويتر: @zahraalahafai

مراجعة وتدقيق: زينب محمد