في هذه المقالة ستتعرف على أحد أفرع علم الرياضيات والذي يستخدم بشكل كبير في حياتنا وفي الكثير من المجالات التطبيقية. إنها “نظرية الألعاب” أو (Game Theory) والتي كان للعالم الأمريكي جون ناش والرياضي الأمريكي المجري جون فون نيومان الدور الأبرز في نشأتها بشكلها الحديث.

تاريخ  الفكرة

ساهم عدد من علماء القرن الثامن عشر والتاسع عشر في إنشاء نظرية الألعاب حيث ناقشوا استراتيجيات المواجهة واللعب. لكن لم تظهر هذه النظرية بشكلها الرياضي الحديث حتى قام الرياضي المشهور جون نيومان مطلع القرن العشرين بإثبات النظرية رياضيا باستخدام مبرهنة النقطة الثابتة للعالم لويتزن براور Brouwer fixed‪-point theorem

هذا الإثبات جعل نظرية الألعاب طريقة قياسية ومفيدة في العديد من التطبيقات .

يعود جزء كبير من الفضل في تطور النظرية أيضا لعالم الرياضيات الأمريكي جون ناش، والذي توصل في رسالته التي حصل على درجة الدكتوراه من خلالها من جامعة برينستون عام ١٩٥٠ إلى إثبات معادلته الشهيرة: توازن ناش (Nash Equilibrium). من المثير للاهتمام أن جون ناش أثبت كامل نظريته في ٢٨ صفحة فقط ونال على إثرها درجة الدكتوراه في الفلسفة من جامعة برينستون العريقة.

شرح النظرية

تقوم نظرية الألعاب على مناقشة السلوك الاستراتيجي للمشتركين في الألعاب التي تتطلب اتخاذ قرارات مصيرية واستراتيجية. فمثلا على المستوى الترفيهي، يمكن استخدام أسس النظرية للتنبؤ بسلوك الخصم في لعبة الشطرنج أو أوراق اللعب (الباصرة). أما على المستوى الاستراتيجي ذو الأبعاد العميقة، يمكن استخدام أسس النظرية في التنبؤ بالسلوك الاستراتيجي الذي قد تتبعه كبريات الشركات في المنافسة والاستحواذ أو حتى سلوك الدول في مواجهاتها مع خصومها. من المثير أيضا أن منظمة الأبحاث والتطوير الأمريكية (RAND Corporation) قامت بالفعل بتوظيف عدد من العلماء للقيام بعملية بحث موسع لهذه النظرية ومدى إمكانية استخدامها في استراتيجيات الصراع النووي العالمي الناشئ بعد نهاية الحرب العالمية الثانية.

 مساهمات جون نيومان تركزت على القيام بتحليل الألعاب التعاونية ذي الطرفين، والتي ينتج عنها محصلة صفرية (Zero‪-sum)، بمعنى أن الفائدة أو الخسارة لكلا اللاعبين تعادل فائدة وخسارة الطرف الاخر مما ينتج صفرا كمحصلة للعبة. لذا، عند جمع الفوائد العائدة على كل طرف من هذه اللعبة والخسائر المتحققة على كل طرف، سيصبح الناتج الرياضي صفرا.

للتوضيح أكثر، يمكن استخدام تقسيم الكعك كمثال. عندما تقسم الكعكة بشكل يجعل أحد الأطراف يحصل على قطعة أكبر مما يبقي للطرف الآخر قطعة أصغر، ستكون المحصلة صفرا اذا اعتبرنا أن كل المتشاركين يقيّمون كل وِحدة من الكعك بشكل متساوٍي

أما بالنسبة لمساهمة جون ناش فهي التي كان لها الفضل الأكبر في إمكانية تطبيق النظرية في عدد أكبر من المواضع والحالات. فمثلا، قام ناش بالتوصل إلى توازنه الشهير (Nash Equilibrium) والذي يأخذ بعين الاعتبار عدد لا محدود من المشتركين في الألعاب الغير تعاونية. لا يلزم الخوض في تفاصيل توازن ناش لمعرفة أن اكتشافه ساهم في جعل نظرية الألعاب ممكنة التطبيق في شتى المجالات. فمثلا، اللعبة الشهيرة حجر ورقة مقص تصل بالمشتركين في النهاية لتوازن ناش.

النظرية  في  عالمنا  اليوم

جدير بالذكر أن نظرية الألعاب تستخدم بشكل رئيسي في عدد من التطبيقات الأساسية في حياتنا كالسياسة والاقتصاد والعلوم الطبيعية أيضا. كما ينصح القارئ بمشاهدة الفلم السينمائي الجميل: عقل جميل (A Beautiful Mind) والذي يجسد حياة العالم الرياضي جون ناش والذي حصل على جائزة نوبل في علوم الاقتصاد في العام ١٩٩٤ نظير مساهماته في هذا المجال على الرغم من معاناته من الانفصام والجنون الارتيابي لمدة طويلة من حياته. هذا بالإضافة إلى أن جائزة نوبل في الاقتصاد قد منحت لعدد من علماء آخرين ساهموا في تطور هذه النظرية، مما يؤكد على الأهمية التي يوليها المجتمع العلمي على هذا النوع من النظريات.

معضلة السجين

لو قلنا أن شخصين كانا عضوين في عصابة ما قامت بارتكاب جريمة، وقبضت الشرطة عليهما ووضعت كلا منهما في غرفة تحقيق منفصلة عن الآخر، لكن المحققين لا يملكون الأدلة الكافية لإدانتهما قطعيا. قام المحقق بحيلة وعرض على المتهمين أن يقوم كل منهما بالاعتراف بقيام الشخص الثاني بالجريمة حتى يتمكن من تخفيف الحكم عليهم.

كامل الخيارات المتاحة في هذا الوضع كانت كالتالي:

أن يشهد أحد المتهمين على الآخر (يعترف بقيام الآخر بالجريمة) أمام القاضي، ويحصل هو على حريته ويحكم القاضي على المتهم الآخر بالسجن ١٠ سنوات .

أن يشهد كل منهم بارتكاب الآخر للجريمة ويحكم القاضي بالسجن 5 سنوات لكل منهما .

أن يصمت كل منهما  ولذا لا يتمكن المحقق من إثبات الجريمة على أحد، ويسجن كل منهما سنة مخففة

طبقا لتوازن ناش، ما هو الناتج  المنطقي الذي تتوقعه، علما أن المتهمين لا يستطيعان التواصل مع بعضهما في هذه الحالة؟ (راجع الرسم التوضيحي بالأسفل ) .

طبعا الجواب سوف يكون: كلا الطرفين سوف يعترف على الآخر وسيحكم على كل منهما ٥ سنوات. (هذا ما ستتنبأ به النظرية ) .

المصادر:

‪ Leonard, Robert (2010), Von Neumann, Morgenstern, and the Creation of Game Theory, New York: Cambridge University Press

‪ Schelling, Thomas, The Strategy of Conflict, copyright 1960, 1980, Harvard University Press

 ‪ ‪”Game Theory‪ ” Wikipedia page for