ما هو التماثل؟

تاريخ النشر : 08/12/2015 التعليقات :0 الاعجابات :3 المشاهدات :2958
الكاتب سارة الدخيّل

طالبة رياضيات اكتوارية ومالية

المراجع آلاء المشيقح

المدقق

التماثل

في الهندسة إذا بقى الشيء كما هُو بعد التغيير يعد متناظرًا كالانعكاس أو الدوران.

التناظر هو المبدأ الرياضي الأساسي خلف كُل الأنماط وهو مهم في الفن (يستخدم في الهندسة المعمارية, الفخار والصناعات اليدوية) وفي الرياضيات (يرتبط بالهندسة ونظرية المجموعات والجبر الخطي) و في الاحياء (أشكال الكائنات الحية) وفي الكيمياء (في أشكال الجزيئات والبنية البلورية) وفي الفيزياء (حيث يتوافق التناظر مع الكميات المحفوظة).

كلمة التناظر “symmetry”  هي كلمة لاتينية من القرن السادس عشر مشتقة من الكلمات اليونانية  “معا” (syn-) و قياس (metron).

 

أنواع التناظر :

الانعكاسي

في العرف العام، غالبًا مايشير التناظر إلى المرآة أو التناظر الانعكاسي، كما في رسم خط في بُعدين 2D أو رسم مستوى في ثلاث أبعاد 3D بحيث يكون النصفين مطابقان لبعضهما، ومن أمثلته وجه الإنسان والمثلث متطابق الضلعين. ورياضيًا ، الشيء الذي يتناظر عكسيًا يكون ثابتاً تحت الانعكاس أي ينعكس الشيء بطريقة معينة لا تغير من شكله ، وفي الأحياء كثيرا مايُشار للتناظر الانعكاسي بتناظر الجانبين كما في الثدييات، الزواحف، الطيور والاسماك.

تناظر1

التناظر الدوراني

نوع آخر من أنواع التناظر شائع في الأحياء وهو التناظر الشعاعي ويوجد في الزهور والعديد من المخلوقات البحرية مثل شقائق البحر ونجم البحر وقنديل البحر ، ورياضيًا، تم وصف هذه الأشكال ضمن التناظر الدوراني لكونها ثابتة في ظل الدوران ، وهذه الأشياء لها نقطة في بُعدين 2-D أو محور في ثلاث أبعاد 3-D بحيث يمكن للكائن أن يستدير ويبقى شكله ثابتًا.

تناظر2

التناظر الانتقالي

لو تم تخيل التمدد بشكل لا نهائي في جميع الاتجاهات فإن باستطاعة الأنماط الثنائية والثلاثية الأبعاد أن تُظهر التناظر الانتقالي لكونها ثابتة تحت الانسحابات، التبليط أو الفسيفساء ومعظم الأنماط الموجودة على السجاد وورق الجدران تمثل تناظرا انتقاليًا .

تناظر3

أنواع أخرى من التناظر

بينما هناك أمثلة لأشياء تحتوي على أكثر نوع من التناظر مثل النجمة السداسية تمثل 6 خطوط من تماثل الانعكاس وتناظر دوراني من الدرجة 6، هناك بعض الأشياء الثابتة فقط تحت حدوث تغيران في الوقت نفسه .

 

الدوران المخالف = انعكاس + دوران

تناظر4

المضاد للمنشور الخماسي (pentagonal antiprism) ذو الحواف المتجهة غير ثابت تحت تناظر الدوران المخالف (في المثال أعلاه، دوران من المستوى العاشر وانعكاس في المستوى الافقي)

الانعكاس الانزلاقي = انعكاس + انسحاب

تناظر5

 

نمط بصمة القدم هي مثال لهذا النوع، إذا امتدت إلى مالا نهاية في أي اتجاه تكون غير ثابتة تحت الانعكاس المنزلق.

 

دوران البرغي = انسحاب + دوران

تناظر6

في اللولب رباعي الأسطح إذا امتد إلى مالا نهاية في أي اتجاه يكون غير ثابت تحت هذا التناظر (في هذا المثال، الانسحاب جنبا إلى جنب مع دوران ذو 131.8 درجة)

تصنيف الأشكال والأنماط :

علماء الرياضيات والبلورات يصنفون أشكال وأنماط التناظرات بناء على ثباتها عند إجراء طرق مختلفة من التغيير، يتم تصنيف الأشكال الثنائية أو الثلاثية الأبعاد حسب الزمرة النقطية لبيان كل الطرق التي يمكن أن تكون ثابتة فيها تحت الانعكاس و الدوران. عند استخدام شكل بمثابة نموذج مشابه، يصبح من المريح أن يتم تصنيف البلورات في النمط ثنائي الأبعاد هناك عشرة أشكال كما في الصورة أدناه أما في الثلاثي الابعاد هناك 32

تمتثل7

في التسمية الشائعة سُميت بـ” تعداد سكوينفلايز” نسبة لعالم الرياضيات الألماني آرثر موريتز سكوينفلايز

“C” تعني حلقي وهي للأشكال التي لها تناظر دوراني بدون تناظر انعكاسي، ويشير الرقم إلى عدد التناظر الدوراني الذي يحتويه الشكل مثلا “C2” له تناظر من شقين، جميع الأشكال الدائرية لها صورة في المرآة تدور في الاتجاه المعاكس.

“D” ترمز لثنائي السطح، وهي الأشكال التي لها تناظرين انعكاسي ودوراني، ويشير الرقم إلى عدد التناظر الدوراني وكذلك عدد خطوط التناظر .

الشبكيات

الشبكية هي نمط متكرر من النقاط في فراغ بحيث يمكن للشكل أن يتكرر أو بتعبير أدق يمكن أن ينعكس، وينسحب انزالاقيًا أو يدور كالبرغي ، في النمط  أولي الأبعاد هناك شبكية واحدة، في الثنائي هناك خمسة في الثلاثي هناك 14 لخلق نمط، جسم ثنائي الأبعاد (والذي سيكون له واحدة من  10  مجموعات من النقاط في الشبكة البلورية المرتبطة معه) سيتكرر في نمط ثنائي أو أحادي الأبعاد، جسم ثنائي الأبعاد يتكرر في شبكية ذات بعد واحد يشكل مجموعة فرايز واحدة من أصل سبع ، أما إذا تكرر في شبكية ذات بعدين فإنه يشكل مجموعة ورق جدران واحدة من أصل 17 مجموعة.

الأنماط ثلاثية الأبعاد أكثر تعقيدًا ونادرًا ما توجد خارج تحليل البلورات، الشكل الثلاثي الأبعاد مختلف الزمرة النقطية يتكرر على طول الشبكيات ثلاثيات الأبعاد يشكل  230 زمرة مختلفة من الزمر الفراغية. يمكن أن يتكرر الشكل ثلاثي الأبعاد في الأولي والثنائي الأبعاد لينتج مجموعات قضيبية أو طبقية.

التناظر الكسريّ

هي أيضا ثابتة تحت التغير الرابع: التحجيم وهو دوائر متحدة المركز في قطر المتتالية الهندسية عندما يكون الشكل ثابتا تحت أنواع معينة من الانسحابات مثل الانعكاس، التدوير والتحجيم ينتج نوعًا جديدًا من الأنماط يُسمى النمط الكسريّ .

koch-curve

المصدر :

    http://www.livescience.com/51100-what-is-symmetry.html


شاركنا رأيك طباعة